Definição de antiderivada

Uma função é denominada antiderivada ou primitiva de f sobre um intervalo I se F'(x)=f(x) para todo o x pertendente a I.

• Se F for uma antiderivada de f num intervalo I, então a antiderivada mais geral f em I é F(x)+C, onde C é uma constante arbitrária. A isto chamamos uma família de antiderivadas em que o que varia é apenas a constante C;
• Integrar é o contrário de derivar;
• A constante C só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C;
• O integral de uma função determina um balanço de área.

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f uma função derivável num intervalo contendo um ponto xo, temos:

• Esta é uma função que descreve a equação de uma recta.
• o gráfico de T é uma recta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).

Exemplo 1

Dada a função

expanda-a em série de Taylor, com aproximação atá à segunda ordem, em torno de a=0 ou x0=0.

1. Calcular f(a)=f(0)
2. Calcular f'(0)

3. Calcular f''(0)

4. Escrever a fórmula de Taylor

Regra de Cauchy

A regra de Cauchy permite levantar a maioria das indeterminações do tipo 0/0 e infinito sobre infinito.

Sejam f e g duas funções deriváveis num intervalo I aberto, a extremidade de I, (a pertende a R, a= + infinito ou a= - infinito). Suponhamos ainda que g'(x) é diferente de 0 para todo o x pertencente a I e que,

1. 
2. existe

Então,

Derivada de uma função num ponto

A derivada é um conceito de fundamental importância na teoria das funções reais de variável real, generalizável a outros espaços de funções e de aplicação praticamente em todos os ramos da ciência e da técnica. Define-se derivada de uma função f(x) num ponto X0, caso exista, como
sendo

Quando este limite existe representa-se por f(x0) e dá-nos o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A análise das derivadas de uma função é uma técnica a que frequentemente se recorre para o estudo dessa função. Se uma função possui derivada (finita) num ponto, é contínua nesse ponto (condição necessária de derivabilidade), mas o recíproco não é verdadeiro (a continuidade da função num ponto não é condição suficiente para que a função seja derivável nesse ponto).

Por outras palavras, e em termos físicos, a derivada de uma função num ponto corresponde a uma taxa de variação instantânea, a velocidade instantânea.

Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por f '(a) ou df/dx (a).

Teorema de Bolzano

Designado também por Teorema dos Valores Intermédios, é um teorema com grande significado na determinação de valores específicos, nomeadamente zeros, de certas funções reais de variável real. O referido teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

"Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b], e k um número real compreendido entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto ]a, b[ tal que f(c)=k."

Continuidade de uma função num ponto

Seja uma função real de variável real f cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [ , em que a menor que b com a e b pertencentes a R (conjunto dos números reais) e c pertencente ao ] a,b [.
Então f diz-se uma função contínua em c se e só se:
Em particular, seja f uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [, em que a é menor que b com a e b pertencentes a R e seja c pertencente a R. Então f diz-se uma função contínua à esquerda de c se e só se:

• Da mesma forma, seja f uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [, em que a é menor que b com a e b pertencentes a R e seja c pertencente a ] a,b [.

Então f diz-se uma função contínua à direita de c se e só se:

• Mas se uma função real de variável real f for contínua num ponto c, é necessariamente contínua à esquerda de c e é contínua à direita de c.

-Propriedades de funções contínuas num ponto c:

Se f e g forem duas funções reais de variável real e contínuas em c, sendo que c pertence Df reunido com Dg, são também contínuas nas seguintes composições de f e de g:

• A função soma f+g;
• A função diferença f-g;
• A função produto f x g;
• A função quociente f/g , desde que g(c) seja diferente de 0;
• A função potência de expoente n, f^n com n pertencente a N (conjunto dos números Naturais);
• A função raíz de índice n de f , com n pertencente a N e f(c) maior que 0 no caso de n ser par;
• A própria função composta f(c) maior que 0 é contínua em c, com c pertencente ao Df após g, se e só se g for contínua em c, e f for contínua em g(c).

Teorema do confronto

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo I excepto possivelmente em x=a
que pertence a I, se para todo o x pertencente a I excepto a, tivermos f(x)
entre g(x) e h(x) e

entao,

Este teorema é também chamado de Teorema do Sanduíche.

Exercício de Aplicação

h(x)= xsen(10/x)

Determine o limite quando x tende para o da função h(x).

Como o valor de um determinado ângulo está entre -1 e +1, temos que:

Logo, o limite quando x tende para 0 da função de h(x) é igual a 0.