Derivada de uma função num ponto

A derivada é um conceito de fundamental importância na teoria das funções reais de variável real, generalizável a outros espaços de funções e de aplicação praticamente em todos os ramos da ciência e da técnica. Define-se derivada de uma função f(x) num ponto X0, caso exista, como
sendo

Quando este limite existe representa-se por f(x0) e dá-nos o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A análise das derivadas de uma função é uma técnica a que frequentemente se recorre para o estudo dessa função. Se uma função possui derivada (finita) num ponto, é contínua nesse ponto (condição necessária de derivabilidade), mas o recíproco não é verdadeiro (a continuidade da função num ponto não é condição suficiente para que a função seja derivável nesse ponto).

Por outras palavras, e em termos físicos, a derivada de uma função num ponto corresponde a uma taxa de variação instantânea, a velocidade instantânea.

Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por f '(a) ou df/dx (a).