Definição de antiderivada

Uma função é denominada antiderivada ou primitiva de f sobre um intervalo I se F'(x)=f(x) para todo o x pertendente a I.

• Se F for uma antiderivada de f num intervalo I, então a antiderivada mais geral f em I é F(x)+C, onde C é uma constante arbitrária. A isto chamamos uma família de antiderivadas em que o que varia é apenas a constante C;
• Integrar é o contrário de derivar;
• A constante C só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C;
• O integral de uma função determina um balanço de área.

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f uma função derivável num intervalo contendo um ponto xo, temos:

• Esta é uma função que descreve a equação de uma recta.
• o gráfico de T é uma recta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).

Exemplo 1

Dada a função

expanda-a em série de Taylor, com aproximação atá à segunda ordem, em torno de a=0 ou x0=0.

1. Calcular f(a)=f(0)
2. Calcular f'(0)

3. Calcular f''(0)

4. Escrever a fórmula de Taylor

Regra de Cauchy

A regra de Cauchy permite levantar a maioria das indeterminações do tipo 0/0 e infinito sobre infinito.

Sejam f e g duas funções deriváveis num intervalo I aberto, a extremidade de I, (a pertende a R, a= + infinito ou a= - infinito). Suponhamos ainda que g'(x) é diferente de 0 para todo o x pertencente a I e que,

1. 
2. existe

Então,

Derivada de uma função num ponto

A derivada é um conceito de fundamental importância na teoria das funções reais de variável real, generalizável a outros espaços de funções e de aplicação praticamente em todos os ramos da ciência e da técnica. Define-se derivada de uma função f(x) num ponto X0, caso exista, como
sendo

Quando este limite existe representa-se por f(x0) e dá-nos o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A análise das derivadas de uma função é uma técnica a que frequentemente se recorre para o estudo dessa função. Se uma função possui derivada (finita) num ponto, é contínua nesse ponto (condição necessária de derivabilidade), mas o recíproco não é verdadeiro (a continuidade da função num ponto não é condição suficiente para que a função seja derivável nesse ponto).

Por outras palavras, e em termos físicos, a derivada de uma função num ponto corresponde a uma taxa de variação instantânea, a velocidade instantânea.

Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por f '(a) ou df/dx (a).

Teorema de Bolzano

Designado também por Teorema dos Valores Intermédios, é um teorema com grande significado na determinação de valores específicos, nomeadamente zeros, de certas funções reais de variável real. O referido teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

"Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b], e k um número real compreendido entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto ]a, b[ tal que f(c)=k."

Continuidade de uma função num ponto

Seja uma função real de variável real f cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [ , em que a menor que b com a e b pertencentes a R (conjunto dos números reais) e c pertencente ao ] a,b [.
Então f diz-se uma função contínua em c se e só se:
Em particular, seja f uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [, em que a é menor que b com a e b pertencentes a R e seja c pertencente a R. Então f diz-se uma função contínua à esquerda de c se e só se:

• Da mesma forma, seja f uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [, em que a é menor que b com a e b pertencentes a R e seja c pertencente a ] a,b [.

Então f diz-se uma função contínua à direita de c se e só se:

• Mas se uma função real de variável real f for contínua num ponto c, é necessariamente contínua à esquerda de c e é contínua à direita de c.

-Propriedades de funções contínuas num ponto c:

Se f e g forem duas funções reais de variável real e contínuas em c, sendo que c pertence Df reunido com Dg, são também contínuas nas seguintes composições de f e de g:

• A função soma f+g;
• A função diferença f-g;
• A função produto f x g;
• A função quociente f/g , desde que g(c) seja diferente de 0;
• A função potência de expoente n, f^n com n pertencente a N (conjunto dos números Naturais);
• A função raíz de índice n de f , com n pertencente a N e f(c) maior que 0 no caso de n ser par;
• A própria função composta f(c) maior que 0 é contínua em c, com c pertencente ao Df após g, se e só se g for contínua em c, e f for contínua em g(c).

Teorema do confronto

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo I excepto possivelmente em x=a
que pertence a I, se para todo o x pertencente a I excepto a, tivermos f(x)
entre g(x) e h(x) e

entao,

Este teorema é também chamado de Teorema do Sanduíche.

Exercício de Aplicação

h(x)= xsen(10/x)

Determine o limite quando x tende para o da função h(x).

Como o valor de um determinado ângulo está entre -1 e +1, temos que:

Logo, o limite quando x tende para 0 da função de h(x) é igual a 0.

Limites notáveis

Limites cujo valor é já conhecido e servem de auxiliares ao cálculo de certos outros limites e, principalmente, ao levantamento de algumas indeterminações.

Limites e Indeterminações

Nos casos em que, por aplicação directa dos teoremas sobre limites, somos
conduzidos aos símbolos

a que se chama símbolos de indeterminação, temos de seguir outro caminho para procurar, se existir, o limite, isto é, «levantar a indeterminação».

São considerados dois casos: quando x tende para a (finito) e quando x tende para +/- infinito.

Exemplo 1

Neste tipo de limites, em que se trata de uma divisão de dois polinómios, o levantamento da indeterminação é simples. Quer no polinómio presente no numerador, quer no do denominador é escolhido apenas o de maior grau. Assim, ficamos com

Exemplo 2

Neste tipo de limites, para levantar a indeterminação (0/0) multiplicamos os denominador e numerados pelo par conjugado do numerador:

Resolução do exercício 1

f(x)=2x+3
a=0
b=3
epsilon=0,2
lim f(x) quando x->a = b

Qualquer que seja epsilon maior que 0 existe um delta maior que 0 tal que x-a está entre 0 e delta.
=> f(x)-b é menor que epsilon

2x+3-3 é menor que 0,2
2x é menor que 0,2
x é menor que 0,1 = delta
x-0 é menor que delta
x é menor que delta

Definição de Limite

Dizer que "o limite de f(x) quando x tende para a é L" significa que o valor de f(x) se aproxima do valor de L tanto quanto se queira. Basta considerar um valor de x suficientemente próximo de a. Recorrendo à linguagem específica da Matemática, pode escrever-se uma definição de limite de uma função f da seguinte forma:

Seja f uma função definida num subconjunto X do conjunto dos números reais e a um ponto aderente a X (isto é, não exterior a X). Diz-se que o número real L é limite de f no ponto a, ou quando x tende para a se, para cada número delta maior que 0, existe um epsilon maior que 0 tal que se tem f(x) - L menor que 0 para todos os valores de x pertencentes a X tais que x - a é menor que epsilon. < div="">

Em muitas situações, como por exemplo no estudo da continuidade de funções, pode falar-se em limite de uma função à esquerda no ponto a (ou quando x tende para a por valores menores que a) e em limite da função à direita no ponto a (ou quando x tende para a por valores maiores que a). São designados de limites laterais e representam-se por:

Exercício 1 (realizado na aula)

Para a função seguinte, encontre um valor positivo delta para o respectivo valor de epsilon dado, de modo a que o gráfico da função para o intervalo a-delta menor que x e x menor que a+delta fique "dentro da janela" b- epsilon menor que y e y menor que b+ epsilon.

Dados:

f(x)=2x+3; a=0; b=3; epsilon =0,2

Assímptotas

No Dicionário de Língua Portuguesa uma assímptota é definida como uma linha recta relacionada com uma curva, cuja distância entre elas se torna infinitamente pequena, a partir de determinado ponto.

Um gráfico de uma função pode ter assimptotas verticais, horizontais ou oblíquas.

-Assímptotas verticais

Considere-se uma função f:R\{a}->R. Uma recta de equação x=a é uma assimptota vertical do gráfico de uma função f, se algum dos limites

se verifica.

Exemplo 1

Dada a função f(x) =(2x−6)/(x+3), vamos estudar alguns aspectos do seu comportamento, com a finalidade de detectar a existência ou não de assimptotas.

O domínio da função é o conjunto Df=R\{-3}. Calculando os limites,

conclui-se que a recta x=-3 é assimptota vertical de f .

-Assímptotas horizontais

Considere-se uma função f:R->R. Uma recta horizontal y=b é uma assimptota horizontal de f se,

se verificar.

Exemplo 2

Considerando a função do exemplo 1, calculando os limites

conclui-se que a recta y= 2 é assimptota horizontal de f .

Transformações de funções

Deslocamentos verticais e horizontais

Suponha que c maior que 0 . Para obter o gráfico de:

• y=f(x)+c, desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para cima;
• y=f(x)-c, desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para baixo;
• y=f(x-c), desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a direita;
• y=f(x+c), desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a esquerda.

Reflexões e expansões horizontais e verticais

Suponha c é maior que 0. Para obter o gráfico de
• y=cf(x) , estique o gráfico de y=f(x) verticalmente por um factor de c;
• y=(1/c)f(x), comprima o gráfico de y=f(x) verticalmente por um factor de c;
• y=f(cx), comprima o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um factor de c;
• y=f(x/c), estique o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um factor de c;
• y=-f(x), reflicta o gráfico de y=f(x) em torno do eixo dos xx;
• y=f(-x), reflicta o gráfico de y=f(x) em torno do eixo dos yy.

Alguns exemplos de funções

Função Linear

É uma função do tipo y=ax+b em que a é diferente de
zero. O seu domínio é o conjunto R, dos números reais, e graficamente é uma
recta. a é designado por declive e representa a inclinação da recta em
relação ao eixo Ox. b é designada de ordenada na origem e
quantitativamente representa a altura do eixo Oy quando x=0, ou seja, quando a
recta cruza o eixo das ordenadas. Quando a é maior que 0 a função é crescente;
se a é menor que 0, a função é decrescente; e quando a=0, a função é constante
(recta horizontal).

Função Quadrática

É uma função do tipo ax^2+bx+c, com a
pertencente a R/{0} e b e c pertencentes a R. O seu domínio é R.
Quando a é maior que 0, a concavidade é voltada para cima; se a é
menor que 0, a concavidade está voltada para baixo.

Função exponencial

É uma função do tipo y=a^x, com a maior que 0
e a diferente de 1. Quando a maior que 1 a função é crescente; se
a estiver entre 0 e 1 a função é decrescente. Caso particular: f(x)=e^x, em que e é o número de Nepper (e=~2,71).

Função

Definição de Função: É uma lei a qual para cada elemento x de um conjunto A (domínio) faz corresponder um e um só elemento f(x), de um conjunto B (contradomínio).

Tipos de funções

• Injectiva: a uma imagem só corresponde um objecto. Nota: graficamente podemos ver que uma função é injetiva se, ao traçármos rectas horizontais paralelas ao eixo das abcissas (x), estas não intersectarem o gráfico em mais do que um ponto.
• Sobrejectiva: o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
• Bijectiva: é quando uma função é injectiva e sobrejectiva ao mesmo tempo.
• Inversa: Uma função, para ter inversa, tem que ser bijectiva ou seja, injectiva e sobrejectiva. Se f é uma função injetiva, qualquer que seja o valor de y do seu contradomínio tem um e um só valor de x do domínio de que tem y como imagem. Assim, a correspondência entre o contradomínio de f e o domínio de f , que a cada y do contradomínio de f faz corresponder o x do domínio de f, é unívoca, ou seja, é uma função. A esta nova função dá-se o nome de função inversa de f , e representa-se por f^-1.
  

Conteúdos Programáticos

Nesta unidade curricular o principal objectivo era explorar as noções básicas do cálculo diferencial e integral importantes para nós alunos das Ciências da Vida, nomeadamente, de Química Medicinal.

Os conteúdos abordados ao longo das aulas foram:

1. Revisão sobre o estudo de funções reais de uma variável.
2. Cálculo diferencial em R
2.1 Limites e continuidade
2.2 Diferenciação
2.3 Aplicações
3. Cálculo integral
3.1 Primitivas
3.2 Teorema Fundamental do Cálculo
3.3 Aplicações
4. Cálculo diferencial em Rn
4.1 Derivadas parciais
4.2 Aplicações
5. Equações diferenciais ordinárias
5.1 De 1ª e 2ª ordem
5.2 Aplicações

Introdução ao e-portfólio da Couve-Roxa

Olá meus espinafres e bróculos,
Este e-portfólio está a ser realizado no âmbito da disciplina de Matemática I do curso de Química Medicinal, da Universidade da Beira Interior.
O objectivo é expor algum do trabalho que está a ser desenvolvido na disciplina e ao mesmo tempo criar questões que possamos discutir entre nós e mostrar vários pontos de vista.
Colocarei aqui também alguns problemas que considerei importantes ao longo do decorrer das aulas.
Um grande beijo, meus bichinhos :)