Definição de antiderivada

Uma função é denominada antiderivada ou primitiva de f sobre um intervalo I se F'(x)=f(x) para todo o x pertendente a I.

• Se F for uma antiderivada de f num intervalo I, então a antiderivada mais geral f em I é F(x)+C, onde C é uma constante arbitrária. A isto chamamos uma família de antiderivadas em que o que varia é apenas a constante C;
• Integrar é o contrário de derivar;
• A constante C só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de C;
• O integral de uma função determina um balanço de área.

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f uma função derivável num intervalo contendo um ponto xo, temos:

• Esta é uma função que descreve a equação de uma recta.
• o gráfico de T é uma recta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)).

Exemplo 1

Dada a função

expanda-a em série de Taylor, com aproximação atá à segunda ordem, em torno de a=0 ou x0=0.

1. Calcular f(a)=f(0)
2. Calcular f'(0)

3. Calcular f''(0)

4. Escrever a fórmula de Taylor

Regra de Cauchy

A regra de Cauchy permite levantar a maioria das indeterminações do tipo 0/0 e infinito sobre infinito.

Sejam f e g duas funções deriváveis num intervalo I aberto, a extremidade de I, (a pertende a R, a= + infinito ou a= - infinito). Suponhamos ainda que g'(x) é diferente de 0 para todo o x pertencente a I e que,

1. 
2. existe

Então,

Derivada de uma função num ponto

A derivada é um conceito de fundamental importância na teoria das funções reais de variável real, generalizável a outros espaços de funções e de aplicação praticamente em todos os ramos da ciência e da técnica. Define-se derivada de uma função f(x) num ponto X0, caso exista, como
sendo

Quando este limite existe representa-se por f(x0) e dá-nos o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A análise das derivadas de uma função é uma técnica a que frequentemente se recorre para o estudo dessa função. Se uma função possui derivada (finita) num ponto, é contínua nesse ponto (condição necessária de derivabilidade), mas o recíproco não é verdadeiro (a continuidade da função num ponto não é condição suficiente para que a função seja derivável nesse ponto).

Por outras palavras, e em termos físicos, a derivada de uma função num ponto corresponde a uma taxa de variação instantânea, a velocidade instantânea.

Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por f '(a) ou df/dx (a).

Teorema de Bolzano

Designado também por Teorema dos Valores Intermédios, é um teorema com grande significado na determinação de valores específicos, nomeadamente zeros, de certas funções reais de variável real. O referido teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

"Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b], e k um número real compreendido entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto ]a, b[ tal que f(c)=k."

Continuidade de uma função num ponto

Seja uma função real de variável real f cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [ , em que a menor que b com a e b pertencentes a R (conjunto dos números reais) e c pertencente ao ] a,b [.
Então f diz-se uma função contínua em c se e só se:
Em particular, seja f uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [, em que a é menor que b com a e b pertencentes a R e seja c pertencente a R. Então f diz-se uma função contínua à esquerda de c se e só se:

• Da mesma forma, seja f uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto ] a,b [, em que a é menor que b com a e b pertencentes a R e seja c pertencente a ] a,b [.

Então f diz-se uma função contínua à direita de c se e só se:

• Mas se uma função real de variável real f for contínua num ponto c, é necessariamente contínua à esquerda de c e é contínua à direita de c.

-Propriedades de funções contínuas num ponto c:

Se f e g forem duas funções reais de variável real e contínuas em c, sendo que c pertence Df reunido com Dg, são também contínuas nas seguintes composições de f e de g:

• A função soma f+g;
• A função diferença f-g;
• A função produto f x g;
• A função quociente f/g , desde que g(c) seja diferente de 0;
• A função potência de expoente n, f^n com n pertencente a N (conjunto dos números Naturais);
• A função raíz de índice n de f , com n pertencente a N e f(c) maior que 0 no caso de n ser par;
• A própria função composta f(c) maior que 0 é contínua em c, com c pertencente ao Df após g, se e só se g for contínua em c, e f for contínua em g(c).

Teorema do confronto

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo I excepto possivelmente em x=a
que pertence a I, se para todo o x pertencente a I excepto a, tivermos f(x)
entre g(x) e h(x) e

entao,

Este teorema é também chamado de Teorema do Sanduíche.

Exercício de Aplicação

h(x)= xsen(10/x)

Determine o limite quando x tende para o da função h(x).

Como o valor de um determinado ângulo está entre -1 e +1, temos que:

Logo, o limite quando x tende para 0 da função de h(x) é igual a 0.

Limites notáveis

Limites cujo valor é já conhecido e servem de auxiliares ao cálculo de certos outros limites e, principalmente, ao levantamento de algumas indeterminações.

Limites e Indeterminações

Nos casos em que, por aplicação directa dos teoremas sobre limites, somos
conduzidos aos símbolos

a que se chama símbolos de indeterminação, temos de seguir outro caminho para procurar, se existir, o limite, isto é, «levantar a indeterminação».

São considerados dois casos: quando x tende para a (finito) e quando x tende para +/- infinito.

Exemplo 1

Neste tipo de limites, em que se trata de uma divisão de dois polinómios, o levantamento da indeterminação é simples. Quer no polinómio presente no numerador, quer no do denominador é escolhido apenas o de maior grau. Assim, ficamos com

Exemplo 2

Neste tipo de limites, para levantar a indeterminação (0/0) multiplicamos os denominador e numerados pelo par conjugado do numerador:

Resolução do exercício 1

f(x)=2x+3
a=0
b=3
epsilon=0,2
lim f(x) quando x->a = b

Qualquer que seja epsilon maior que 0 existe um delta maior que 0 tal que x-a está entre 0 e delta.
=> f(x)-b é menor que epsilon

2x+3-3 é menor que 0,2
2x é menor que 0,2
x é menor que 0,1 = delta
x-0 é menor que delta
x é menor que delta

Definição de Limite

Dizer que "o limite de f(x) quando x tende para a é L" significa que o valor de f(x) se aproxima do valor de L tanto quanto se queira. Basta considerar um valor de x suficientemente próximo de a. Recorrendo à linguagem específica da Matemática, pode escrever-se uma definição de limite de uma função f da seguinte forma:

Seja f uma função definida num subconjunto X do conjunto dos números reais e a um ponto aderente a X (isto é, não exterior a X). Diz-se que o número real L é limite de f no ponto a, ou quando x tende para a se, para cada número delta maior que 0, existe um epsilon maior que 0 tal que se tem f(x) - L menor que 0 para todos os valores de x pertencentes a X tais que x - a é menor que epsilon. < div="">

Em muitas situações, como por exemplo no estudo da continuidade de funções, pode falar-se em limite de uma função à esquerda no ponto a (ou quando x tende para a por valores menores que a) e em limite da função à direita no ponto a (ou quando x tende para a por valores maiores que a). São designados de limites laterais e representam-se por:

Exercício 1 (realizado na aula)

Para a função seguinte, encontre um valor positivo delta para o respectivo valor de epsilon dado, de modo a que o gráfico da função para o intervalo a-delta menor que x e x menor que a+delta fique "dentro da janela" b- epsilon menor que y e y menor que b+ epsilon.

Dados:

f(x)=2x+3; a=0; b=3; epsilon =0,2

Assímptotas

No Dicionário de Língua Portuguesa uma assímptota é definida como uma linha recta relacionada com uma curva, cuja distância entre elas se torna infinitamente pequena, a partir de determinado ponto.

Um gráfico de uma função pode ter assimptotas verticais, horizontais ou oblíquas.

-Assímptotas verticais

Considere-se uma função f:R\{a}->R. Uma recta de equação x=a é uma assimptota vertical do gráfico de uma função f, se algum dos limites

se verifica.

Exemplo 1

Dada a função f(x) =(2x−6)/(x+3), vamos estudar alguns aspectos do seu comportamento, com a finalidade de detectar a existência ou não de assimptotas.

O domínio da função é o conjunto Df=R\{-3}. Calculando os limites,

conclui-se que a recta x=-3 é assimptota vertical de f .

-Assímptotas horizontais

Considere-se uma função f:R->R. Uma recta horizontal y=b é uma assimptota horizontal de f se,

se verificar.

Exemplo 2

Considerando a função do exemplo 1, calculando os limites

conclui-se que a recta y= 2 é assimptota horizontal de f .

Transformações de funções

Deslocamentos verticais e horizontais

Suponha que c maior que 0 . Para obter o gráfico de:

• y=f(x)+c, desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para cima;
• y=f(x)-c, desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para baixo;
• y=f(x-c), desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a direita;
• y=f(x+c), desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a esquerda.

Reflexões e expansões horizontais e verticais

Suponha c é maior que 0. Para obter o gráfico de
• y=cf(x) , estique o gráfico de y=f(x) verticalmente por um factor de c;
• y=(1/c)f(x), comprima o gráfico de y=f(x) verticalmente por um factor de c;
• y=f(cx), comprima o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um factor de c;
• y=f(x/c), estique o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um factor de c;
• y=-f(x), reflicta o gráfico de y=f(x) em torno do eixo dos xx;
• y=f(-x), reflicta o gráfico de y=f(x) em torno do eixo dos yy.

Alguns exemplos de funções

Função Linear

É uma função do tipo y=ax+b em que a é diferente de
zero. O seu domínio é o conjunto R, dos números reais, e graficamente é uma
recta. a é designado por declive e representa a inclinação da recta em
relação ao eixo Ox. b é designada de ordenada na origem e
quantitativamente representa a altura do eixo Oy quando x=0, ou seja, quando a
recta cruza o eixo das ordenadas. Quando a é maior que 0 a função é crescente;
se a é menor que 0, a função é decrescente; e quando a=0, a função é constante
(recta horizontal).

Função Quadrática

É uma função do tipo ax^2+bx+c, com a
pertencente a R/{0} e b e c pertencentes a R. O seu domínio é R.
Quando a é maior que 0, a concavidade é voltada para cima; se a é
menor que 0, a concavidade está voltada para baixo.

Função exponencial

É uma função do tipo y=a^x, com a maior que 0
e a diferente de 1. Quando a maior que 1 a função é crescente; se
a estiver entre 0 e 1 a função é decrescente. Caso particular: f(x)=e^x, em que e é o número de Nepper (e=~2,71).

Função

Definição de Função: É uma lei a qual para cada elemento x de um conjunto A (domínio) faz corresponder um e um só elemento f(x), de um conjunto B (contradomínio).

Tipos de funções

• Injectiva: a uma imagem só corresponde um objecto. Nota: graficamente podemos ver que uma função é injetiva se, ao traçármos rectas horizontais paralelas ao eixo das abcissas (x), estas não intersectarem o gráfico em mais do que um ponto.
• Sobrejectiva: o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
• Bijectiva: é quando uma função é injectiva e sobrejectiva ao mesmo tempo.
• Inversa: Uma função, para ter inversa, tem que ser bijectiva ou seja, injectiva e sobrejectiva. Se f é uma função injetiva, qualquer que seja o valor de y do seu contradomínio tem um e um só valor de x do domínio de que tem y como imagem. Assim, a correspondência entre o contradomínio de f e o domínio de f , que a cada y do contradomínio de f faz corresponder o x do domínio de f, é unívoca, ou seja, é uma função. A esta nova função dá-se o nome de função inversa de f , e representa-se por f^-1.