Limites e Indeterminações

Nos casos em que, por aplicação directa dos teoremas sobre limites, somos
conduzidos aos símbolos

a que se chama símbolos de indeterminação, temos de seguir outro caminho para procurar, se existir, o limite, isto é, «levantar a indeterminação».

São considerados dois casos: quando x tende para a (finito) e quando x tende para +/- infinito.

Exemplo 1

Neste tipo de limites, em que se trata de uma divisão de dois polinómios, o levantamento da indeterminação é simples. Quer no polinómio presente no numerador, quer no do denominador é escolhido apenas o de maior grau. Assim, ficamos com

Exemplo 2

Neste tipo de limites, para levantar a indeterminação (0/0) multiplicamos os denominador e numerados pelo par conjugado do numerador:

Resolução do exercício 1

f(x)=2x+3
a=0
b=3
epsilon=0,2
lim f(x) quando x->a = b

Qualquer que seja epsilon maior que 0 existe um delta maior que 0 tal que x-a está entre 0 e delta.
=> f(x)-b é menor que epsilon

2x+3-3 é menor que 0,2
2x é menor que 0,2
x é menor que 0,1 = delta
x-0 é menor que delta
x é menor que delta

Definição de Limite

Dizer que "o limite de f(x) quando x tende para a é L" significa que o valor de f(x) se aproxima do valor de L tanto quanto se queira. Basta considerar um valor de x suficientemente próximo de a. Recorrendo à linguagem específica da Matemática, pode escrever-se uma definição de limite de uma função f da seguinte forma:

Seja f uma função definida num subconjunto X do conjunto dos números reais e a um ponto aderente a X (isto é, não exterior a X). Diz-se que o número real L é limite de f no ponto a, ou quando x tende para a se, para cada número delta maior que 0, existe um epsilon maior que 0 tal que se tem f(x) - L menor que 0 para todos os valores de x pertencentes a X tais que x - a é menor que epsilon. < div="">

Em muitas situações, como por exemplo no estudo da continuidade de funções, pode falar-se em limite de uma função à esquerda no ponto a (ou quando x tende para a por valores menores que a) e em limite da função à direita no ponto a (ou quando x tende para a por valores maiores que a). São designados de limites laterais e representam-se por:

Exercício 1 (realizado na aula)

Para a função seguinte, encontre um valor positivo delta para o respectivo valor de epsilon dado, de modo a que o gráfico da função para o intervalo a-delta menor que x e x menor que a+delta fique "dentro da janela" b- epsilon menor que y e y menor que b+ epsilon.

Dados:

f(x)=2x+3; a=0; b=3; epsilon =0,2

Assímptotas

No Dicionário de Língua Portuguesa uma assímptota é definida como uma linha recta relacionada com uma curva, cuja distância entre elas se torna infinitamente pequena, a partir de determinado ponto.

Um gráfico de uma função pode ter assimptotas verticais, horizontais ou oblíquas.

-Assímptotas verticais

Considere-se uma função f:R\{a}->R. Uma recta de equação x=a é uma assimptota vertical do gráfico de uma função f, se algum dos limites

se verifica.

Exemplo 1

Dada a função f(x) =(2x−6)/(x+3), vamos estudar alguns aspectos do seu comportamento, com a finalidade de detectar a existência ou não de assimptotas.

O domínio da função é o conjunto Df=R\{-3}. Calculando os limites,

conclui-se que a recta x=-3 é assimptota vertical de f .

-Assímptotas horizontais

Considere-se uma função f:R->R. Uma recta horizontal y=b é uma assimptota horizontal de f se,

se verificar.

Exemplo 2

Considerando a função do exemplo 1, calculando os limites

conclui-se que a recta y= 2 é assimptota horizontal de f .

Transformações de funções

Deslocamentos verticais e horizontais

Suponha que c maior que 0 . Para obter o gráfico de:

• y=f(x)+c, desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para cima;
• y=f(x)-c, desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para baixo;
• y=f(x-c), desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a direita;
• y=f(x+c), desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a esquerda.

Reflexões e expansões horizontais e verticais

Suponha c é maior que 0. Para obter o gráfico de
• y=cf(x) , estique o gráfico de y=f(x) verticalmente por um factor de c;
• y=(1/c)f(x), comprima o gráfico de y=f(x) verticalmente por um factor de c;
• y=f(cx), comprima o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um factor de c;
• y=f(x/c), estique o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um factor de c;
• y=-f(x), reflicta o gráfico de y=f(x) em torno do eixo dos xx;
• y=f(-x), reflicta o gráfico de y=f(x) em torno do eixo dos yy.

Alguns exemplos de funções

Função Linear

É uma função do tipo y=ax+b em que a é diferente de
zero. O seu domínio é o conjunto R, dos números reais, e graficamente é uma
recta. a é designado por declive e representa a inclinação da recta em
relação ao eixo Ox. b é designada de ordenada na origem e
quantitativamente representa a altura do eixo Oy quando x=0, ou seja, quando a
recta cruza o eixo das ordenadas. Quando a é maior que 0 a função é crescente;
se a é menor que 0, a função é decrescente; e quando a=0, a função é constante
(recta horizontal).

Função Quadrática

É uma função do tipo ax^2+bx+c, com a
pertencente a R/{0} e b e c pertencentes a R. O seu domínio é R.
Quando a é maior que 0, a concavidade é voltada para cima; se a é
menor que 0, a concavidade está voltada para baixo.

Função exponencial

É uma função do tipo y=a^x, com a maior que 0
e a diferente de 1. Quando a maior que 1 a função é crescente; se
a estiver entre 0 e 1 a função é decrescente. Caso particular: f(x)=e^x, em que e é o número de Nepper (e=~2,71).

Função

Definição de Função: É uma lei a qual para cada elemento x de um conjunto A (domínio) faz corresponder um e um só elemento f(x), de um conjunto B (contradomínio).

Tipos de funções

• Injectiva: a uma imagem só corresponde um objecto. Nota: graficamente podemos ver que uma função é injetiva se, ao traçármos rectas horizontais paralelas ao eixo das abcissas (x), estas não intersectarem o gráfico em mais do que um ponto.
• Sobrejectiva: o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
• Bijectiva: é quando uma função é injectiva e sobrejectiva ao mesmo tempo.
• Inversa: Uma função, para ter inversa, tem que ser bijectiva ou seja, injectiva e sobrejectiva. Se f é uma função injetiva, qualquer que seja o valor de y do seu contradomínio tem um e um só valor de x do domínio de que tem y como imagem. Assim, a correspondência entre o contradomínio de f e o domínio de f , que a cada y do contradomínio de f faz corresponder o x do domínio de f, é unívoca, ou seja, é uma função. A esta nova função dá-se o nome de função inversa de f , e representa-se por f^-1.